Родился 29 июня 1947 г. в г. Верхней Пышме Свердловской обл.

Доктор химических наук (1993), профессор (1994).

Окончил химический факультет (1970), аспирантуру (1973) Уральского университета по специальности «Химия и физикохимия высокомолекулярных соединений». Проходил стажировку в Московском университете (1976, 1981), в Институте макромолекулярной химии в Праге (Чехословакия, 1982), в Институте высокомолекулярных соединений РАН в Санкт-Петербурге (1992, 1997, 2003, 2007), в Техническом университете в Берлине (Германия, 2009).

Работает в Уральском университете: ассистент (1973–1981), доцент (1981–1994), профессор кафедры химии высокомолекулярных соединений (с 1994), и. о. заведующего этой кафедрой (2001–2003), заведующий кафедрой (с 2004). В 2000 г. организовал и возглавил лабораторию «Анализ и сертификация полимерных материалов».

Впервые на факультете разработал новые спецкурсы «Физика полимеров», «Полимерные композиционные материалы», «Механизм и термодинамика образования макромолекул», «Фазовые и структурные превращения жидкокристаллических наносистем».

Руководитель уральской научной школы физикохимии полимеров. Научные интересы С. А. Вшивкова связаны с изучением фазовых переходов и структуры растворов, гелей и смесей полимеров. Им обнаружены новые типы кривых ликвидуса, пульсирующий механизм фазового распада гелей. Установлены принципиально новые закономерности влияния концентрации, молекулярной массы и гибкости цепи полимера, напряжения и скорости деформирования на фазовые переходы в полимерных системах, вызванные механическим полем. Предложены уравнения, связывающие смещение бинодалей и кривых ликвидуса с коэффициентом молекулярного растяжения макромолекул; изменение фазовых диаграмм гелей с кратностью его вытяжки и степенью сетчатости; размер сегментов цепи при фазовом распаде геля с их частотой колебаний. С 2004 г. руководит на кафедре исследованиями жидкокристаллических наносистем в магнитном и механическом полях. Полученные С. А. Вшивковым результаты формируют новые представления о термодинамической устойчивости полимерных систем и способах ее изменения.

Выступал с докладами на конференциях во Франции, Германии, Чехии, Словакии. Автор более 250 опубликованных работ, в том числе монографии «Методы исследования фазового равновесия растворов полимеров», ряда учебных пособий, обзоров, а также изобретения «Способ получения микрокапсул» (1980). Подготовил одного доктора и двух кандидатов наук.

Исследования, проводимые под руководством С. А. Вшивкова, поддержаны грантами РФФИ (1994–1995, 2000–2003, 2005–2008)), CRDF (2000–2006, 2008–2009). С 2009 г. он является руководителем госконтракта «Самоорганизация, фазовые переходы и свойства анизотропных наносубпрамолекулярных и микрогетерогенных сред в магнитном и механическом полях».

Член ученого совета химического факультета Уральского университета, научный рецензент журналов «Высокомолекулярные соединения», «Успехи химии», «Polymer».

В 1981 г. получил первую премию Уральского университета за лучшую научную работу среди молодых ученых. В 2001 г. был удостоен премии Уральского университета за цикл работ «Термодинамика и структура полимерных систем». Имеет звание Соросовского профессора (2001). За заслуги в области образования награжден нагрудным знаком «Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации» (2007).