Родился 17 января 1918 г. в пос. Уинске Пермской губ.

Доктор физико-математических наук (1951), профессор, действительный член Академии наук Белорусской ССР (1966).

В раннем детстве Е. А. Барбашин остался круглым сиротой. Воспитание и среднее образование получил в Березовском детском доме (вблизи Свердловска) и всю жизнь хранил в своем сердце благодарность этому дому, с большой теплотой вспоминал о его воспитателях. В 1935–1940 гг. успешно учился на физико-математическом факультете Уральского университета.

Сразу по окончании вуза поступил в аспирантуру при Московском университете к профессору В. В. Немыцкому, которую окончил в 1943 г., блестяще защитив кандидатскую диссертацию на тему «Некоторые вопросы теории обобщенных динамических систем». В этой работе Е. А. Барбашин впервые развил теорию динамических систем без предположения единственности движения в будущем при известном, вполне определенном состоянии в настоящем и заложил основы для многочисленных исследований в этом направлении как в Советском Союзе, так и за его пределами.

После защиты кандидатской диссертации до 1960 г. Е. А. Барбашин работал в Уральском политехническом институте.

В 1951 г. защитил докторскую диссертацию «Метод сечений в теории динамических систем», в которой было проведено глубокое исследование свойств динамических систем, особенно в связи с такими фундаментальными свойствами, как выпрямляемость и гармонизуемость движений. Важным следствием этих изысканий явились новые оригинальные теоремы существования решения в целом для уравнений в частных производных первого порядка. Особенно ценно то, что в диссертации впервые четко было увязано качественное изучение абстрактных динамических систем с актуальными для приложений вопросами устойчивости движения сложных нелинейных динамических систем. При этом ученому удалось доказать существование гладкой функции Ляпунова в области притяжения асимптотически устойчивого положения равновесия.

Работая в политехническом институте, Евгений Алексеевич преподавал и в Уральском университете. Многие студенты и аспиранты университета обязаны ему своим научным становлением.

В эти и последующие годы под руководством Е. А. Барбашина в Свердловске активно работает городской семинар по дифференциальным уравнениям, многие его ученики защищают диссертации по тематике семинара, формируется научная школа по качественной теории дифференциальных уравнений. Опираясь на исследования этой школы, Е. А. Барбашин читает специальные курсы для студентов-математиков Уральского университета, позже переработанные им в известную монографию «Введение в теорию устойчивости».

В 1959–1961 гг. Е. А. Барбашин исследует динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством, условия существования предельных циклов, рассматривает колебания обобщенных, связанных и двойных маятников. Результаты этих исследований нашли отражение в монографии «Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством».

В 60-е гг. ХХ в. публикуются работы Е. А. Барбашина, посвященные вопросам приближенного осуществления движения по заданной траектории, изучению систем со случайными параметрами, рассмотрению различных задач автоматического регулирования и теории оптимальных систем. Им разработаны оригинальные методы стабилизации систем автоматического регулирования, создана новая концепция основных понятий теории устойчивости, позволившая успешно исследовать широкий круг задач автоматического управления.

С 1961 по 1966 г. заведовал отделом математического анализа Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР (Свердловское отделение) и сыграл одну из ведущих ролей в создании и укреплении нового крупного математического центра на Урале.

В 1966 г. Е. А. Барбашин был избран академиком АН БССР и переехал в Минск. Здесь он возглавляет важные новые исследования по современным проблемам прикладной математики и дифференциальных уравнений, создает лабораторию прикладной математики и механики в Институте математики АН БССР и новую кафедру прикладной математики в Белорусском университете. Большую роль сыграл в организации и становлении всесоюзного журнала «Дифференциальные уравнения».

Где бы ни работал Евгений Алексеевич, вокруг него всегда складывалась группа единомышленников, стремящихся заниматься наукой. Так, когда он начал свою преподавательскую деятельность, быстро сформировался большой коллектив свердловских математиков и инженеров, выполнявших исследования по широкому кругу актуальных тогда проблем, причем ими большое внимание уделялось решению не только принципиальных теоретических вопросов, но и важных прикладных задач. На основе семинара Е. А. Барбашина сложились и другие исследовательские коллективы. К этому исключительно скромному, доброму и отзывчивому человеку всегда тянулась талантливая молодежь и находила в нем своего учителя. Е. А. Барбашин писал: «Отдать все силы науке, оказать всемерную поддержку нашей молодежи в овладении высотами науки – такова благородная задача советского ученого». Неизменно следуя этому призыву, Евгений Алексеевич за 20 лет воспитал большое количество научных работников, в том числе более 30 кандидатов наук, много докторов наук, членов-корреспондентов и академиков АН СССР.

Ученый с мировым именем, Е. А. Барбашин внес неоценимый вклад в становление на Урале и в Белоруссии научных исследований по теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения.

Награжден орденом Трудового Красного Знамени, медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.». Лауреат Государственной премии СССР (1972).