Родился 12 ноября 1927 г. в с. Канаши Шадринского р-на Курганской обл.

Доктор физико-математических наук (1978), профессор (1979).

Окончил физико-математический факультет Уральского университета (1950).

С 1965 по 1984 г. заведовал кафедрой теоретической физики Уральского университета. За это время по его инициативе и при его непосредственном участии на кафедре были созданы совершенно новые программы лекций и семинарских занятий, учитывавшие наиболее крупные достижения науки; расширилась и углубилась тематика научных работ; сформировались новые научные направления по теоретическому изучению обменных взаимодействий и электронных энергетических спектров, потребовавшие использования мощной электронно-вычислительной техники. На кафедре впервые стали выполняться хоздоговорные работы. К работе на кафедре А. А. Бердышев привлек молодых сотрудников, ставших позднее докторами наук, профессорами кафедры (А. А. Казаков, А. С. Москвин, Е. А. Памятных).

Из научных результатов, полученных А. А. Бердышевым с сотрудниками, можно выделить следующие: создание локально-коллективной модели магнитоупорядоченных переходных металлов; развитие теории обменных взаимодействий через носители тока в полупроводниках и теории сверхобменных взаимодействий в диэлектриках; предсказание (в соавторстве с Б. В. Карпенко) фотоферромагнитного эффекта, открытого впоследствии экспериментально.

Автор более 80 научных публикаций (в основном по проблемам квантовой теории магнетизма). Подготовил семь кандидатов наук, двое из которых стали докторами наук.

Профессором А. А. Бердышевым разработано и прочитано большое количество лекционных курсов: «Квантовая теория ферромагнетизма», «Механика сплошных сред», практически все курсы теоретической физики, курс «Уравнения математической физики» (по которому издано учебное пособие для студентов и молодых научных работников) и др. В 1969 г. издан курс лекций «Введение в квантовую теорию ферромагнетизма», удостоенный премии Уральского университета (1971).

В 1987 г. профессор А. А. Бердышев закончил рукопись нового учебника «Введение в квантовую теорию магнетизма», изданного в 1992 г., уже после его смерти. Книгу отличает высокий научный уровень и доступное для студентов изложение сложнейших вопросов теория магнетизма.

Награжден медалью «Ветеран труда».