Родился 7 мая 1953 г. в Свердловске.

Доктор физико-математических наук (1986), профессор (1991), член-корреспондент РАН (2003).

Окончил математико-механический факультет Уральского университета (1975) по специальности «Математика».

Заведующий отделом алгебры и топологии Института математики и механики УрО РАН, профессор кафедры алгебры и дискретной математики Уральского университета.

Ученик профессора А. И. Старостина. Ведет исследования в области алгебры и дискретной математики (конечные группы, конечные геометрии и симметричные графы). Выполнил циклы работ по характеризациям конечных групп с использованием свойств их локальных подгрупп и классов инволюций, по изучению строения и вложений плотно вложенных подгрупп, по описанию некоторых однородных расширений частичных геометрий, по классификации ряда типов связных графов, по автоморфизмам дистанционно регулярных графов. Автор более 100 научных работ. Подготовил девять кандидатов и двух докторов наук.

В Уральском университете А. А. Махнев читает ряд общих и специальных курсов на математико-механическом факультете, в том числе курсы «Полилинейная алгебра», «Геометрии классических групп», «Симметричные графы».

Является членом редакционного совета журнала «Труды Института математики и механики УрО РАН» (с 2007).