Родился 29 января 1950 г. в Свердловске.

Кандидат физико-математических наук (1980), доцент (1983), доктор педагогических наук (2000), профессор (2002).

Окончил математико-механический фаультет Уральского университета (1972) по специальности «Математика» и с тех пор работает в университете. Ныне декан факультета повышения квалификации преподавателей естественных наук (с 2007).

В университете прочитал ряд основных математических курсов на математико-механическом, химическом и философском факультетах, а также несколько спецкурсов, среди которых «Алгебры Ли и решетки их подалгебр», «Теоретические основы школьной информатики».

А. Г. Гейн – ученик профессора Ю. Н. Мухина. Является специалистом в области алгебры, а также теории и методики преподавания информатики. Автор более 170 научных работ и двух монографий по математике, информатике и педагогике. Под его руководством защищены две кандидатские и одна докторская диссертация по педагогике. Является членом редколлегии журнала «Образование и наука. Известия УрО РАО».

Соавтор школьного учебника «Математика. 5–6. Учебник-собеседник», отмеченного премией на Всесоюзном конкурсе школьных учебников (1987) и входившего в федеральный комплект учебников для общеобразовательных учреждений. Под руководством А. Г. Гейна создано 14 учебников по информатике, также входивших в разные годы в федеральный комплект школьных учебников. Несколько этих учебников отмечены премиями различных конкурсов.

А. Г. Гейн был одним из инициаторов создания Специализированного учебно-научного центра (СУНЦ) – лицея Уральского университета. При его активном участии разрабатывались программы преподавания математики в СУНЦ для классов разной специализации. В 2006 г. по его инициативе в СУНЦ было открыто новое направление подготовки – математико-информационное, которое сегодня является одним из приоритетных в образовании. Для этого направления под руководством А. Г. Гейна разработан комплекс образовательных программ и учебных пособий, в том числе спецкурс «Математические основы информатики».

Действительный член Академии информатизации образования Российской Федерации (2001).

Награжден медалью ВДНХ СССР за разработку программно-методического комплекса по курсу школьной информатики и создание первого учебника по информатике, рекомендованного Министерством просвещения РСФСР (1991). Имеет звание «Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации» (2008). Статья о А. Г. Гейне включена в энциклопедию «Лучшие люди России» (2006).