Родился 7 июля 1936 г. в Тобольске.

Доктор физико-математических наук (1971), профессор (1973), член-корреспондент (1984), действительный член АН СССР (1987). Президент РАН (с 1991).

В 1959 г. окончил физико-математический факультет Уральского университета. В 1961–1970 гг. – аспирант, ассистент, доцент этого же университета. С 1969 г. – старший научный сотрудник Свердловского отделения Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. После реорганизации (1970) последнего в Институт математики и механики УрО РАН работал старшим научным сотрудником, заведующим лабораторией (с 1972), заведующим отделом дифференциальных уравнений (с 1978), с 1986 по 1993 г. – директор института.

С 1991 г. – президент Российской академии наук, председатель Совета РАН по космосу, комитетов по системному анализу и вычислительной технике. Заведующий кафедрой оптимального управления Московского университета (с 1992), директор Математического института им. В. А. Стеклова РАН (1993–2005). Председатель Межведомственной комиссии России по космосу, член Президиума Правительства Российской Федерации (с 1996), Совета безопасности при Правительстве Российской Федерации (с 1997), председатель Комиссии по государственным премиям Российской Федерации в области науки и техники (1992–2004). С 2001 г. – заместитель председателя Совета по науке и высоким технологиям при Президенте Российской Федерации (с 2004 г. – Совет при Президенте РФ по науке, технологиям и образованию).

Ю. С. Осипов – выдающийся специалист в области математики и механики, автор более 150 научных работ. Руководитель крупных прикладных исследований в интересах обороноспособности страны.

Основные научные исследования Ю. С. Осипова посвящены теории управления, дифференциальным уравнениям и их приложениям. Им построена теория управления многомерными системами по принципу обратной связи в условиях неопределенности, охватывающая объекты, описываемые неоднородными граничными задачами для уравнений математической физики, дифференциально-функциональными уравнениями, абстрактными уравнениями с неограниченными операторами, а также объекты, обладающие эффектом последействия в управляющих силах и др. Эта теория содержит строгие постановки типичных задач, условия их разрешимости, способы построения искомых управлений; в ней изучены вопросы корректности найденных решений, вопросы аппроксимации исходных бесконечномерных задач подходящими конечномерными.

Ю. C. Осипов развил спектральную теорию стабилизации движения стационарных и периодических систем с запаздыванием, позволившую в наглядной геометрической форме в терминах собственных векторов системы и направлений управляющих сил указать эффективные условия стабилизируемости и построить в задачах стабилизации полный аналог теории Ляпунова устойчивости по первому приближению и в критических случаях; доказал принцип сведения в теории критических случаев устойчивости систем с последействием и выполнил большой цикл работ, посвященных задачам оптимального управления при наличии фазовых ограничений, где выяснены условия разрешимости задач и структура решений. Предложил и развил новый подход к конструированию вычислительных алгоритмов, ориентированных на работу в «реальном» времени в условиях неполной и меняющейся информации о данных задачи, и решил ряд конкретных задач, в частности ряд обратных задач динамики, состоящих в позиционном восстановлении неизвестных возмущений, действующих на объект, по приближенным оценкам его фазовых состояний.

Ю. С. Осипов ведет большую работу по прикладной тематике, связанной с созданием образцов новой техники. В 1960-е гг. он выполнил цикл исследований по плавности и устойчивости движения транспортных средств специального назначения, на основании которых были при его участии сконструированы и внедрены в серийное производство регулируемая пневматическая подвеска и опорно-сцепные устройства принципиально нового типа, обеспечившие требуемые характеристики движений.

С 1972 г. является руководителем широкого круга опытно-конструкторских работ. Проведенные под руководством и при личном участии Ю. С. Осипова фундаментальные и прикладные исследования доведены до реализации в конкретных изделиях. В этих работах на базе ЭВМ созданы математические модели функционирования изделий, разработаны и реализованы алгоритмы управления в рамках конкретных аппаратурных ограничений, даны оценки качества и эффективности процессов управления, проведено предыспытательное и послеиспытательное моделирование. Результаты исследований непосредственно использованы при создании и натурной отработке изделий. Они позволили выбрать и улучшить ряд важнейших технических характеристик комплексов новой техники, сданных в эксплуатацию, в том числе комплексов С-300 В и «Гранат».

Главный редактор журналов «Доклады Академии наук. Серия математическая», «Вестник Российской академии наук», «Вычислительная математика и математическая физика», председатель редколлегии ежегодника «Наука и человечество», член редколлегий многих журналов. По указу Президента Российской Федерации является председателем научно-редакционного совета «Большой Российской энциклопедии».

В 1976 г. за работы в области математической теории управления Ю. С. Осипову присуждена Ленинская премия в составе авторского коллектива, возглавляемого академиком Н. Н. Красовским. В 1993 г. за работы по прикладной тематике удостоен Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники, международной премии имени просветителей Кирилла и Мефодия.

Награжден орденами Трудового Красного Знамени, «Знак Почета», «За заслуги перед Отечеством» I, II, III степени, Князя Ярослава Мудрого IV степени, Святого преподобного князя Даниила I степени, Святителя Макария, Командорским орденом (Польша), орденом офицера Почетного легиона (Франция), орденом Дружбы (Вьетнам) и др.

Ю. С. Осипов – заслуженный профессор Московского государственного университета (1999), почетный доктор Уральского государственного университета (Екатеринбург), Гуманитарного университета (Санкт-Петербург), Бар-Иланского университета (Израиль), Университета Сантьяго (Чили). Член Вашингтонской академии искусств и наук, иностранный член Австрийской академии наук; почетный член Монгольской академии наук, Национальной академии наук Азербайджана, Армянской академии наук. Почетный член Московского и Американского математических обществ. Почетный гражданин Свердловской области.